3D数学基础：图形与游戏开发
向量
向量点乘
公式：a*b = |a||b|cosθ
几何意义：
(1) 判断前后
(2) 投影
用矩阵表示：
向量叉乘
公式：|a×b| = |a||b|sinθ
几何意义：
(1) 判断左右
(2) 计算垂直a,b所形成平面的向量，该向量的朝向由左手定则(左手坐标系)，右手定则(右手坐标系)决定
用矩阵表示：
矩阵
矩阵转置(M(T))：通俗解释,行变列，列变行
矩阵乘法
矩阵变换过程
(1)v=(x,y,z) 拆解成v=xp+yq+zr，p,q,r为一个坐标系的+x轴，+y轴，+z轴的单位向量
(2)其(p,q,r)可以拆分为一个33矩阵即
(3)矩阵变换相当于 变换矩阵列向量=新的向量旋转矩阵
(1) 2D旋转矩阵
(2) 3D绕正坐标轴旋转与2D同样
(3) 3D绕任意轴旋转
缩放矩阵
(1) 三轴的缩放因子kx,ky,kz 乘对应的p，q，r即是缩放矩阵
(2) 沿任意轴缩放矩阵
(3) 关于沿任意轴缩放矩阵因子k的特殊解释：
k=-1：镜像，n相当于平面法向量
k=0：投影，n相当于平面法向量
k>0：普通缩放切变 (扭曲变换)
一个/多个轴的坐标被另外一个轴以及一个/多个系数影响，2D切变如：将y乘因子s再加到x轴上，x’ = x + y*s。可以解释为，切变y轴，因子s，x轴受y轴切变影响
行列式 (矩阵M的行列式表示为：|M|)
余子式 (M(ij)表示从M矩阵中去掉第 i 行以及第 j 列后剩余的矩阵)
代数余子式
行列式性质
(1).|A*B|=|A||B|
(2).|M(T)|=|M| 注：M(T)为M的转置
(3).矩阵任意行或列都为零，则行列式为零
(4).交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负
(5).任意行或列的非零积加到另一行或列上，行列式值不变
(6).行列式的值=2D中的面积，3D中的体积
矩阵的逆 M(-1)
矩阵的逆 公式： “标准伴随矩阵” / 行列式 = 矩阵的逆
正交矩阵 (通常表示为Q)
M * M(T) = I，M * M(-1) = I，M(T) = M(-1)
(1)M(T)，M(-1)也为正交矩阵
(2)|M| = +1或-1
(3)M(T)各行为单位向量且两两相交
几何意义：在已知该矩阵为正交矩阵的前提下，求矩阵的逆只需要求矩阵的转置而不用复杂计算。
在坐标转换中旋转矩阵都是正交矩阵4X4齐次矩阵
平移是一个特殊的变换矩阵，在3X3矩阵中无法表示，因此添加了一个唯独存放平移信息，其中W分量为1表示向量，而W分量为0表示点
欧拉角
- 比较常见的表达旋转的方式，用三个旋转角度表示当前的旋转值，分别对应：绕x，y，z轴旋转度数。
- 优点：表达简单易懂，任意3个数表示欧拉角都是有效的
- 缺点：插值困难，如+190°与-170°实际表现是一样的但是普通插值会造成360°以上的旋转，旋转中某种特殊情况会出现万向锁问题
四元数
- Q = [w v] = [w x y z]
- 单位四元数：Q = [1 0]
- 带入角度以及旋转轴：
- 四元数的模
- 四元数的共轭：q(*) ，向量变负
- 四元数的逆：q(-1) * q = [1 0] （单位四元数），由共轭除以模获得
- 四元数的乘法（叉乘）：（满足乘法结合律，不满足交换律）
- 使用四元数旋转
标准3D坐标（x,y,z）转成p=[0 (x,y,z)]，q为旋转矩阵：[cos(θ/2) n*sin(θ/2)]
再通过以下公式
由右向左旋转：
由左向右旋转：
- 四元数的差：计算四元数’a’旋转到’b’的角位移，用’d’表示 a*d = b ，同时左乘一个a的逆（四元数不支持除法）
- 四元数点乘 几何意义：a·b的绝对值越大，说明a与b角位移越相似
- 四元数求幂：（比较常用）
一个四元数q(1/3) 表示1/3的q的角位移; q(2)：两倍q的角位移
几何图元
- 自由度概念：自由度是决定一个图元可用的最少参数。 如：球：半径，矩形：长，宽，高
- 边界球检测相交
- AABB包围盒检测相交：矩形的边于世界坐标系平行，满足相交条件Xmin <= X <= Xmax , Ymin <= Y <= Ymax , Zmin <= Z <= Zmax
关于AABB包围盒的变换，当物体变换时，并不能直接设置AABB盒子(旋转等，盒子大小会变化)，而需要重新计算 - 点到平面的距离计算：取平面任意一点，得向量a以及于平面的夹角θ，sinθ*|a|即最短距离
- 三角形面积计算：1.bh/2 ，2.海伦公式(在不知道高的情况下)：
- 三角形重心，内心，外心计算， 重心：三角形平衡点，内心：到三条边距离相等，外心：到三个顶点距离相等
- 证明点在三角形内部，只需要用三角形的三个点于点P的向量分别于其三条边的向量做叉乘，求得点P在边的左侧或右侧，但三条边都在内部则点P在三角形内部
